精英家教網(wǎng)本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A：AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC．
B：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．設(shè)k為非零實數(shù)，矩陣M=
k0
01
，N=
01
10
，點A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求k的值．
C：在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值．
D：設(shè)a、b是非負實數(shù)，求證：a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
分析：A、連接OD，則OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再證明OB=BC=OD=OA，即可求解．
B、由題設(shè)得MN=
k0
01
01
10
=
0k
10
，根據(jù)矩陣的運算法則進行求解．
C、在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由題意將圓和直線先化為一般方程坐標(biāo)，然后再計算a值．
D、利用不等式的性質(zhì)進行放縮證明，a3+b3-
ab
(a2+b2)=a2
a
(
a
-
b
)+b2
b
(
b
-
a
)然后再進行討論求證．
解答：解：A：（方法一）證明：連接OD，則：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，精英家教網(wǎng)
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．

（方法二）證明：連接OD、BD．
因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=90°，AB=2OB．
因為DC是圓O的切線，所以∠CDO=90°．
又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO．精英家教網(wǎng)
即2OB=OB+BC，得OB=BC．
故AB=2BC．
B滿分（10分）．由題設(shè)得MN=
k0
01
01
10
=
0k
10

由
0k
10
0-2-2
001
=
00k
0-2-2
，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．
計算得△ABC面積的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|，則由題設(shè)知：|k|=2×1=2．
所以k的值為2或-2．
C解：ρ2=2ρcosθ，圓ρ=2cosθ的普通方程為：x2+y2=2x，（x-1）2+y2=1，
直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：3x+4y+a=0，
又圓與直線相切，所以
|3•1+4•0+a|
32+42
=1，
解得：a=2，或a=-8．
D（方法一）證明：a3+b3-
ab
(a2+b2)=a2
a
(
a
-
b
)+b2
b
(
b
-
a
)
=(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]
=(
a
-
b
)2[(
a
)4+(
a
)3(
b
)+(
a
)2(
b
)2+(
a
)(
b
)3+(
b
)4]
因為實數(shù)a、b≥0，(
a
-
b
)2≥0，[(
a
)4+(
a
)3(
b
)+(
a
)2(
b
)2+(
a
)(
b
)3+(
b
)4]≥0
所以上式≥0．即有a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得a3+b3-
ab
(a2+b2)
=a2
a
(
a
-
b
)+b2
b
(
b
-
a
)
=(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]
當(dāng)a≥b時，
a
≥
b
，從而(
a
)5≥(
b
)5，得(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]≥0；
當(dāng)a＜b時，
a
＜
b
，從而(
a
)5＜(
b
)5，得(
a
-
b
)[(
a
)5-(
b
)5]＜0；
所以a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
點評：本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力，及圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點，考查運算求解能力還考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力．另外此題也考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選做題本題包括A，B，C，D四小題，請選定其中 兩題 作答，每小題10分，共計20分，
解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
A選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
B選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=
ab
cd
，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α1=
1
-1
，屬于特征值λ2=4的一個特征向量為α2=
3
2
．求矩陣A．
C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．點
P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
D選修4-5：不等式選講
若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2
5
，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=
21
1a
的一個特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是
x=cosα
y=sinα+1
（α是參數(shù)），若以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，求BC的長．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣
12
2a
的屬于特征值b的一個特征向量為
1
1
，求實數(shù)a、b的值．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（1，-2）在曲線
x=2pt2
y=2pt
（t為參數(shù)，p為正常數(shù)），求p的值．
D．（不等式選講）
設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=1，求證：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，已知兩圓交于A、B兩點，過點A、B的直線分別與兩圓交于P、Q和M、N．求證：PM∥QN．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣A的逆矩陣A-1=
10
02
，求矩陣A．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓
x2
12
+
y2
4
=1在第一象限處的一點P（x，y）分別作x軸、y軸的兩條垂線，垂足分別為M、N，求矩形PMON周長最大值時點P的坐標(biāo)．
D．（不等式選講）
已知關(guān)于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案