Question

16．設a，b，c是互不相等的正數，則下列等式不恒成立的是（　�。�

• A． a²+b²+c²＞ab+bc+ca
• B． a-b+$\frac{1}{a-b}$≥2
• C． |a-b|+|b-c|≥|a-c|
• D． $\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$≤$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$

Answer 1

分析 A．a，b，c是互不相等的正數，可得（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，展開化簡即可判斷出結論；
B．a＜b時，（a-b）+$\frac{1}{a-b}$=-$[（b-a）+\frac{1}{b-a}]$≤-2，即可判斷出正誤；
C．由絕對值的不等式的性質即可判斷出結論；
D．平方作差$（\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}）^{2}$-$（\sqrt{a+3}+\sqrt{a}）^{2}$=2$\sqrt{{a}^{2}+3a+2}$-2$\sqrt{{a}^{2}+3a}$＞0，即可判斷出結論．

解答 解：A．∵a，b，c是互不相等的正數，∴（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，展開化為a²+b²+c²＞ab+bc+ca，因此恒成立；
B．a＜b時，（a-b）+$\frac{1}{a-b}$=-$[（b-a）+\frac{1}{b-a}]$≤-2，因此不恒成立；
C．由絕對值的不等式的性質可得：|a-b|+|b-c|≥|a-b+b-c|=|a-c|，因此恒成立；
D．∵$（\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}）^{2}$-$（\sqrt{a+3}+\sqrt{a}）^{2}$=2$\sqrt{{a}^{2}+3a+2}$-2$\sqrt{{a}^{2}+3a}$＞0，∴$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a+2}$＞$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$，因此恒成立．
綜上可得：只有B不恒成立．
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式的性質、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．