Question

已知以點(diǎn)C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．

(1) 求證：△AOB的面積為定值；

(2) 設(shè)直線(xiàn)2x＋y－4＝0與圓C交于點(diǎn)M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；

(3) 在(2)的條件下，設(shè)P、Q分別是直線(xiàn)l：x＋y＋2＝0和圓C的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1) 由題設(shè)知，圓C的方程為(x－t)²＋＝t²＋，化簡(jiǎn)得x²－2tx＋y²－y＝0，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0或2t，則A(2t，0)；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0或，則B，

∴ S_ΔAOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4為定值．

(2) ∵ |OM|＝|ON|，則原點(diǎn)O在MN的中垂線(xiàn)上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，∴ C、H、O三點(diǎn)共線(xiàn)，則直線(xiàn)OC的斜率k＝，∴ t＝2或t＝－2，

∴ 圓心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圓C的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝5或(x＋2)²＋(y＋1)²＝5，由于當(dāng)圓方程為(x＋2)²＋(y＋1)²＝5時(shí)，直線(xiàn)2x＋y－4＝0到圓心的距離d>r，此時(shí)不滿(mǎn)足直線(xiàn)與圓相交，故舍去.

∴ 圓C的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝5

(3) 點(diǎn)B(0，2)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＋2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′(－4，－2)，則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B′C|－r＝－＝3－＝2.

所以|PB|＋|PQ|的最小值2，直線(xiàn)B′C的方程為y＝x，則直線(xiàn)B′C與直線(xiàn)x＋y＋2＝0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.