Question

如圖,在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中,AC=AB=AA₁=a,∠CAB=90⁰, D、E分別為棱AA₁、A₁B₁的中點(diǎn),

（1）求二面角B-C₁D-C的平面角的余弦值；

（2）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面C₁BD?若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）延長(zhǎng)CA交C₁D于K，連結(jié)BK

過(guò)A做AT⊥C₁K,垂足為T(mén).，由AA₁⊥AB,AC⊥AB,AC∩AA₁=A得AB⊥平面AA₁C₁C

AB⊥C₁K ∠ATB為二面角B-C₁D-C的平面角。        

C₁K=a, AT= BT=a    cos∠ATB=

二面角B-C₁D-C的平面角的余弦值；

   （2）存在點(diǎn)F為線段AC中點(diǎn)

無(wú)論F在何處，總有EF在平面AB₁內(nèi)的射影與DB垂直，

故只需EF與C₁D垂直F位AC中點(diǎn)時(shí)又EF在平面AC₁內(nèi)的射影與C₁D垂直，

此時(shí)EF⊥平面C₁BD。