Question

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA1中點.

（1）求證：CD⊥面ABB1A1；

（2）在側(cè)棱BB1上確定一點E，使得二面角E-A1C1-A的大小為.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點滿足.

【解析】

試題分析：（1）由面ACC1A1⊥面ABCAB⊥面ACC1A1AB⊥CD，由D為AA1中點，AC=A1C可推出CD⊥AA1 ，從而得到CD⊥面ABB1A1.（2）由題意，以點C為坐標系原點，CA為x軸，過C點平行于AB的直線為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，求平面面A1C1A的一個法向量、平面EA1C1的一個法向量，利用向量法求解.

（1）【證】∴面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC

∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；

又AC=A1C，D為AA1中點，則CD⊥AA1 ∴CD⊥面ABB1A1.（6分）

（2）【解】如圖所示以點C為坐標系原點，CA為x軸，過C點平行于AB的直線為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，則有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a)，設，且，

即有

所以E點坐標為

由條件易得面A1C1A的一個法向量為

設平面EA1C1的一個法向量為，

由可得

令y=1，則有，（9分）

則，得，

∴當時，二面角E-A1C1-A的大小為.（12分）

考點：空間中的線線垂直、線面垂直、面面垂直，向量法求解空間角.