Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求證：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）設(shè)F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂（x₁＜x₂）；求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明：F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)G（x）=x²-x-lnx，根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)得到其最小值即可得到結(jié)論成立；
（2）先令h（x）=f（x）-ag（x）；根據(jù)h（1）=0得到h（x）≥0的必要條件是h'（0）=0；求出a即可；
（3）先求出其導(dǎo)函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的正根，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到m的范圍；進(jìn)而得到m與x₂之間的關(guān)系；最后通過對(duì)關(guān)于x₂的函數(shù)的求導(dǎo)，找到其最值點(diǎn)，即可得到結(jié)論成立．

解答：解：（1）設(shè)G（x）=x²-x-lnx，
故G′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h(yuǎn)（1）=0
所以h（x）≥0的必要條件是h'（0）=0，得a=1…3'
當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因?yàn)镕（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以F′(x)=

2x2-x+m

x

   (x＞0)，
F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂等價(jià)于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的正根
∴

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

得  0＜m＜

1

8

…2'
由F'（x）=0得m=-2x₂²+x₂，（0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

）
∴F（x₂）=x₂²-x₂+（x₂-2x₂²）lnx₂
設(shè)?(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (

1

4

＜x＜

1

2

)，
得?'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴?(x)＞?(

1

4

)=-

3+4ln2

16

所以F(x2)＞-

3+4ln2

16

…4'

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．