Question

已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx．求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx的定義域為（0，+∞），從而討論去絕對值號，再求導(dǎo)以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而解得．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a≥0時，f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx，
f′（x）=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

；
令f′（x）=0得，x=-

a+ a2+4

4

（舍去），x=

a2+4 -a

4

；
經(jīng)檢驗，x=

a2+4 -a

4

是函數(shù)f（x）的極值小點；
當(dāng)a＜0時，f（x）=

-x2-ax- 1 2 lnx，0＜x＜-a x2+ax- 1 2 lnx，x≥-a

；
當(dāng)0＜x＜-a時，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

，當(dāng)x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

；
當(dāng)-

2

2

＜a＜0時，
當(dāng)0＜x＜-a時，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

＜0，當(dāng)x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

先負(fù)后正；
令f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

=0得，x=-

a+ a2+4

4

（舍去），x=

a2+4 -a

4

；
故x=

a2+4 -a

4

是函數(shù)f（x）的極值小點；
當(dāng)-2≤a≤-

2

2

時，
當(dāng)0＜x＜-a時，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

≤0，當(dāng)x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

≥0；
故x=-a是函數(shù)f（x）的極值小點；
當(dāng)a＜-2時，
令f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

=0得，x=

-a+ a2-4

4

，x=

-a- a2-4

4

；
經(jīng)檢驗，x=

-a+ a2-4

4

是函數(shù)f（x）的極值大點，
x=

-a- a2-4

4

是函數(shù)f（x）的極值小點；
且當(dāng)

-a- a2-4

4

＜x＜-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

＜0，當(dāng)x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

＞0；
故x=-a是函數(shù)f（x）的極值小點．

點評：本題考查了絕對值函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．