Question

已知正項等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足，S₇=56．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求數(shù)列的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得，可求a₃，利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)可求a₄，則d=a₄-a₃，從而可求通項
（Ⅱ）由已知可得b_n+1-b_n=2（n+1），利用疊加法可求b_n，然后利用裂項相消法可求數(shù)列的和
解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差數(shù)列且，
∴，
又∵a_n＞0∴a₃=6．…（2分）
∵，…（4分）
∴d=a₄-a₃=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
當n=1時，b₁=2滿足上式，b_n=n（n+1）
∴…（10分）
∴=．        …（12分）
點評：本題主要考查了等差 數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運算，等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)、通項公式的靈活應(yīng)用是求解的關(guān)鍵．