Question

已知拋物線C：y²=4x，過點(diǎn)A（-1，0）的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F；
（Ⅱ）若λ∈[，]求當(dāng)|PQ|最大時(shí)，直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)P和M關(guān)于x軸對(duì)稱表示出M的坐標(biāo)，利用設(shè)出的坐標(biāo)表示出和，根據(jù)，化簡(jiǎn)即可得到P和Q的橫坐標(biāo)，然后由拋物線的方程找出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用M，F(xiàn)和Q的坐標(biāo)表示出向量，利用剛才化簡(jiǎn)的式子及求出的橫坐標(biāo)代入即可得到=λ，所以得到直線MQ過F點(diǎn)；
（Ⅱ）由第一問求得的P和Q的橫坐標(biāo)相乘等于1，由y₁²-y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，得到y(tǒng)₁y₂的值，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|²，然后把P和Q的橫坐標(biāo)及得到的y₁y₂的值及x₁x₂的值分別代入得到關(guān)于λ的關(guān)系式，配方后利用λ的范圍求出λ+的范圍，即可求出λ+的最大值，讓其等于最大值解出此時(shí)λ的值，把λ的值代入關(guān)于λ的關(guān)系式即可求出|PQ|²的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此時(shí)P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出直線PQ的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵=λ
∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，∴y₁²=λ²y₂²，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，x₁=λ²x₂
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），λx₂（λ-1）=（λ-1）
∵λ≠1，∴x₂=，x₁=λ，
由拋物線C：y²=4x，得到F（1，0），
∴=（1-x₁，y₁）=（1-λ，λy₂）=λ（-1，y₂）=λ，
∴直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x₂=，x₁=λ，得x₁x₂=1，y₁²-y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，y₁y₂=4，
則|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=（λ+）²+4（λ+）-12=（λ++2）²-16
λ∈[，]，λ+∈[，]，
當(dāng)λ+=，即λ=時(shí)，|PQ|²有最大值，則|PQ|的最大值為，
此時(shí)Q（3，±2），P（，±），
k_PQ=±=±，
則直線PQ的方程為：x±2y+=0
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，會(huì)根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的方程，會(huì)進(jìn)行向量的運(yùn)算，是一道中檔題．