Question

已知函數(shù)f（x）=[cos（x-

π

2

）+sin（

3π

2

-x）]•2cos（2π-x）．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）按向量

a

平移后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求當(dāng)|

a

|最小時(shí)的

a

．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin（2x-

π

4

）-1，由此求得它的最小正周期的值以及單調(diào)增區(qū)間．
（2）設(shè)

a

=（a，b），f（x）按向量

a

平移后，所得函數(shù)的解析式為 y=

2

sin[2（x-a）-

π

4

）+b-1，根據(jù)所得函數(shù)是奇函數(shù)，故有-2a-

π

4

=kπ，k∈z，且b-1=0．當(dāng)|

a

|最小時(shí)，
a=

π

8

，b=1，由此可得

a

的坐標(biāo)．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=[cos（x-

π

2

）+siin（

3π

2

-x）]•2cos（2π-x）=（sinx-cosx ）•2cosx
=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
故函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
令  2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]．
（2）設(shè)

a

=（a，b），將f（x）按向量

a

平移后，所得函數(shù)的解析式為 y=

2

sin[2（x-a）-

π

4

）+b-1，
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故所得函數(shù)是奇函數(shù)，故有-2a-

π

4

=kπ，k∈z，且b-1=0．
當(dāng)|

a

|最小時(shí)，a=

π

8

，b=1． 此時(shí)，

a

=（

π

8

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、定義域和值域，以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．