Question

已知在等比數(shù)列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n=2^n-1，從而b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2，由此得到

bn

n

=2^n-1，從而b_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）由b_n=n•2^n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1，
∴2a₂=a₃，∴q=

a3

a2

=2，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n=2^n-1，①
b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2，②
①-②，得：

bn

n

=2^n-1，
∴b_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）∵b_n=n•2^n-1，
∴S_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，③
2S_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，④
④-③，得：
S_n=-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）+n•2ⁿ
=-

1-2n

1-2

+n•2ⁿ
=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．