Question

已知拋物線y=-x2+ax+

1

2

與直線y=2x
（1）求證：拋物線與直線相交；
（2）求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，a的取值范圍；
（3）當(dāng)a在（2）的取值范圍內(nèi)時(shí)，求拋物線截直線所得弦長的最小值．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程，只要對應(yīng)方程的判別式恒大于0即可說明結(jié)論；
（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，在根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方得到關(guān)于a的不等式，解之即可求出a的取值范圍；
（3）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程求出兩根之和與兩根之積，再結(jié)合弦長公式以及第二問中a的取值范圍即可求出拋物線截直線所得弦長的最小值．

解答：解：（1）由

y=2x y=-x2+ax+ 1 2 ?2x2+(4-2a)x-1=0，△=(4-2a)2+8＞0，

∴直線與拋物線總相交．
（2）∵y=-x2+ax+

1

2

=-(x-

a

2

)2+

a2+2

4

，其頂點(diǎn)為(

a

2

，

a2+2

4

)，
且頂點(diǎn)在直線y=2x的下方，
∴

a2+2

4

＜2•

a

2

，
即a2-4a+2＜0?2-

2

＜a＜2+

2

．
（3）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2= 2a-4 2 =a-2 x1•x2=- 1 2

∴|AB|=

1+22

•

(a-2)2+2

=

5[(a-2)2+2]

．
∵2-

2

＜a＜2+

2

，
∴當(dāng)a=2時(shí)，|AB|min=

10

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵在于把直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程組有根的問題，再轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有根的問題．