Question

7．如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)在以O(shè)為圓心以AB為直徑的圓上，AB∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，BC=EF=$\frac{1}{2}$AB．
（Ⅰ）求證：平面ADF⊥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四邊形ABCD為矩形，可得DA⊥AB．進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到：DA⊥平面ABEF，進(jìn)而DA⊥BF，又由AB為直徑，得到BF⊥AF．最后由線面垂直的判定定理得到BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）設(shè)AB=2，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求二面角A-BD-E的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴DA⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且DA?平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴DA⊥平面ABEF．
∵BF?平面ABEF，
∴DA⊥BF．
∵AB為直徑，
∴BF⊥AF．
∵DA，AF為平面DAF內(nèi)的兩條相交直線，
∴BF⊥平面DAF，
∵BF?平面BCF，
∴平面ADF⊥平面BCF；
（Ⅱ）解：設(shè)AB=2，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（0，1，0），D（0，-1，1），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-2y-z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
∵平面ABD的法向量為（1，0，0），
∴二面角A-BD-E的余弦值=$\frac{1}{1•\sqrt{1+3+12}}$=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理，考查二面角的余弦值，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．