已知f(x)=x2+2x+3,g(x)=log5m-2x命題p:當x∈R時,f(x)>m恒成立. 命題q:g(x)在(0,+∞)上是增函數.
(1)若命題q為真命題,求m的取值范圍;
(2)若命題p為真命題,求m的取值范圍;
(3)若在p∧q、p∨q中,有且僅有一個為真命題,求m的取值范圍.
【答案】
分析:(1)若命題q為真命題,說明f(x)的最小值也要大于m,因此只要求出f(x)在R上的最小值,即可得m的取值范圍;
(2)若命題p為真命題,說明對數函數的底數為大于1的正數,因此可求出m的取值范圍;
(3)若在p∧q、p∨q中,有且僅有一個為真命題,說明“p真q假““p假q真“,結合(1)(2)的結論可以得出m的取值范圍.
解答:解:
(1)若命題q為真命題,即g(x)在(0,+∞)上是增函數,則5m-2>1,∴
…(2分)
(2)當x∈R時,f(x)=x
2+2x+3=(x+1)
2+2≥2,f(x)的最小值為2 …(4分)
若命題p為真命題,即f(x)>m恒成立,則m<2…(6分)
(3)在p∧q、p∨q中,有且僅有一個為真命題,則可能有兩種情況:p真q假、p假q真,…(7分)
①當p真q假時,由
得
…(9分)
②當p假q真時,由
得m≥2…(11分)
綜上知,m的取值范圍為
…(12分)
點評:本題考查了含有邏輯連接詞的命題真假的判斷,屬于基礎題.在兩個命題p和q一真一假時,p∧q為假命題,p∨q為真命題,應該抓住這個實質.