Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），且函數(shù)對(duì)稱軸方程為x=-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求g（x）在區(qū)間[t，2]上的最小值H（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的對(duì)稱軸方程以及圖象過點(diǎn)（1，13），求出b、c的值，從而寫出f（x）的解析式；
（Ⅱ）化函數(shù)g（x）為分段函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求出g（x）在區(qū)間[t，2]上的最小值H（t）．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c的對(duì)稱軸方程為x=-

1

2

，
∴b=1； 
又f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），
∴1+b+c=13，∴c=11；
∴f（x）的解析式為f（x）=x²+x+11．
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|
=[（x²+x+11）-x²-13]•|x|
=（x-2）•|x|
=

(x-1)2-1，(x≥0) -(x-1)2+1，(x＜0)

，
畫出函數(shù)圖象，如圖；
∴當(dāng)1≤t＜2時(shí)，g（x）_min=t²-2t；
當(dāng)1-

2

≤t＜1時(shí)，g（x）_min=-1；
當(dāng)t＜1-

2

時(shí)，g(x)min=-t2+2t．
∴綜上，H（t）=

t2-2t，(1≤t＜2) -1，(1- 2 ≤t＜1) -t2+2t，(t＜1- 2 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值情況，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)來解答，是易錯(cuò)題．