Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式的解集為，且，，求的取值范圍（用表示）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)求斜率，求函數(shù)值，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性與最值，得，即，分析整理即可得出證明；

（Ⅲ）由題意，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，令得或；分類討論得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．

（Ⅰ）解：，

當(dāng)時(shí)，，，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以，

，隨變化情況如下：

		0
		0
	遞減	0	遞增

由此可知對(duì)于，，即，

因此，整理得，即；

（Ⅲ）由題意可知，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，

令.得或；

當(dāng)即時(shí)，在上.所以是上的增函數(shù)，

所以方程在上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)即時(shí)，在上，在上，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以，

又因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，

（�。┊�(dāng)即時(shí)，所以要使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是；

（ⅱ）當(dāng)即時(shí)，所以要使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．