Question

已知f（x）=2x³-6x²+a（a為常數(shù)）在[-2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[-2，2]上的值域是（　　）

A．[-37，3]

B．[-29，3]

C．[-5，3]

D．以上都不對

Answer 1

分析：先求導數(shù)，根據(jù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點，在開區(qū)間（-2，2）上只有一極大值則就是最大值，從而求出a，通過比較兩個端點-2和2的函數(shù)值的大小從而確定出最小值，得到結(jié)論．

解答：解：由已知，f′（x）=6x²-12x，由6x²-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此當x∈[2，+∞），（-∞，0]時f（x）為增函數(shù)，在x∈[0，2]時f（x）為減函數(shù)，
又因為x∈[-2，2]，
所以得，當x∈[-2，0]時f（x）為增函數(shù)，
在x∈[0，2]時f（x）為減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（0）=a=3，故有f（x）=2x³-6x²+3
所以f（-2）=-37，f（2）=-5
因為f（-2）=-37＜f（2）=-5，所以函數(shù)f（x）的最小值為f（-2）=-37．
從而值域為[-37，3]
故選A

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎(chǔ)