Question

已知函數(shù)f（x）=+a是奇函數(shù)．（1）求常數(shù)a的值；（2）判斷f（x）的單調(diào)性并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）=+a是奇函數(shù)，可得方程f（x）+f（-x）=0代入函數(shù)解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函數(shù)f（x）=+，由解析式形式知f（x）=+在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，由定義證明即可
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=+a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0
∴+a++a=0，解得a=
∴函數(shù)f（x）=+
（2）由（1）得f（x）=+在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下
任取x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）==
當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時，＞0，＞0，，所以＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0）時，＜0，＜0，，所以＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
 綜上知，
f（x）=+在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)
點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法，解題的關(guān)鍵是理解奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明方法，本題的重點是單調(diào)性的證明，其中判斷符號是難點