Question

曲線y=2lnx上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)與直線2x-y+3=0平行且與曲線y=2lnx相切的直線方程為2x-y+m=0．設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)P，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答：解：設(shè)與直線2x-y+3=0平行且與曲線y=2lnx相切的直線方程為2x-y+m=0．
設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
∵y′=

2

x

，
∴斜率2=

2

x0

，
解得x₀=1，因此y₀=2ln1=0．
∴切點(diǎn)為P（1，0）．
則點(diǎn)P到直線2x-y+3=0的距離d=

|2-0+3|

22+(-1)2

=

5

．
∴曲線y=2lnx上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是

5

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條平行線之間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．