Question

已知三邊長分別為4、5、6的△ABC的外接圓恰好是球O的一個大圓，P為球面上一點，若點P到△ABC的三個頂點的距離相等，則三棱錐P-ABC的體積為：（　　）

• A、8
• B、10
• C、20
• D、30

Answer 1

分析：由題設條件知，三棱錐的高是球的半徑，而底面三角形的外接圓是球O的一個大圓，此關系使得求三棱錐P-ABC的體積時無需再考慮求球的半徑，因其在求解中正好可以消去，使得此幾何體的體積只與三角形的邊長有關．

解答：解：P在面ABC上的射影為O，則OA=OB=OC=OP=R，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

abc

4R

∴V_P-ABC=

1

3

SABCR=

abc

12

=10，
故選B

點評：本題考點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查球內接多面體的幾何特征，以及利用這些幾何特征靈活組合達到簡化解題的目的，本題由于注意三棱錐的高是其外接球的半徑，而其底面三角形外接圓恰是球的大圓這一特征，使解體過程越過了求棱錐高，直接用三個邊長把棱錐的體積表示出來，此題的解題過程提示我們，解題時一定要綜合利用題設中所給的每一個條件進行合理的組合，組合出一個最佳的解題方案．