已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且當x>0,f(x)<0.又f(1)=-2.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值;
(3)解關(guān)于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.
(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0…1′
取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x)對任意x∈R恒成立∴f(x)為奇函數(shù).…3′
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,…4′
∴f(x2)<-f(-x1),
又f(x)為奇函數(shù)∴f(x1)>f(x2
∴f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).∴對任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3)…6′
而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值為6…8′
(3)∵f(x)為奇函數(shù),∴整理原式得 f(ax2)+f(-2x)<f(ax)+f(-2),
進一步得f(ax2-2x)<f(ax-2),
而f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),
∴ax2-2x>ax-2…10′∴(ax-2)(x-1)>0.
∴當a=0時,x∈(-∞,1)
當a=2時,x∈{x|x≠1且x∈R}
當a<0時,x∈{x|
2
a
<x<1}

當0<a<2時,x∈{x|x>
2
a
或x<1}

當a>2時,x∈{x|x<
2
a
或x>1}
…12′
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.
(1)求過函數(shù)圖象上的任一點P(t,f(t))的切線方程;
(2)若直線l是曲線y=f(x)的切線,求證:f(x)≥kx+b對任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b對任意x∈[0,+∞)成立,求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠離m.
(1)若x2-1比1遠離0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,
1
2
)對稱;
(Ⅱ)設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在實數(shù)b
,使得任給a∈[
1
4
,
1
3
],對任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∈CRQ
,則f(f(x))=
1
1

下面三個命題中,所有真命題的序號是
①②③
①②③

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
②任取一個不為零的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對x∈R恒成立;
③存在三個點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.

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同步練習冊答案