Question

9．設(shè)事件A表示“關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有實(shí)根”，其中a，b為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）若a為區(qū)間[0，5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，b為區(qū)間[0，2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若a為區(qū)間[0，5]上的均勻隨機(jī)數(shù)，b為區(qū)間[0，2]上的均勻隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本題是古典概型，首先明確事件的個(gè)數(shù)，利用公式解答；
Ⅱ）本問是幾何概型的求法，明確事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，利用面積比求概率．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}時(shí)，共可以產(chǎn)生6×3=18個(gè)一元二次方程．
若事件A發(fā)生，則a ²-4b²≥0，即|a|≥2|b|．又a≥0，b≥0，所以a≥2b．（3分）
從而數(shù)對(duì)（a，b）的取值為（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12組值．
所以P（A）=$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$．（5分）
（Ⅱ）據(jù)題意，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镈={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)锳={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．（8分）
在平面直角坐標(biāo)系中畫出區(qū)域A、D，如圖，
其中區(qū)域D為矩形，其面積S（D）=5×2=10，
區(qū)域A為直角梯形，其面積S（A）=$\frac{1+5}{2}×2=6$．（11分）
所以P（A）=$\frac{S（A）}{S（D）}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長(zhǎng)度、面積、和體積、的比值得到