設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓長半軸的長等于焦距,且x=4為它的右準(zhǔn)線.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點(diǎn)M、N,證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
(此題不要求在答題卡上畫圖)
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)題意可求得a和c的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)準(zhǔn)線方程求得a和c,則b可得,進(jìn)而求得橢圓的方程.
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中的橢圓方程可求得A,B的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),代入橢圓方程,由P、A、M三點(diǎn)共線可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而表示出根據(jù)2-x>0判斷出>0,進(jìn)而可知∠MBP為銳角,從而∠MBN為鈍角,判斷出點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
解答:解:(Ⅰ)依題意得a=2c,=4,
解得a=2,c=1,從而b=
故橢圓的方程為
(Ⅱ)由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).
設(shè)M(x,y).
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上,
∴y2=(4-x2)(1)
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B,
∴-2<x<2,由P、A、M三點(diǎn)共線可以得
P(4,).
從而=(x-2,y),=(2,).
=2x-4+=(x2-4+3y2).(2)
將(1)代入(2),化簡得=(2-x).
∵2-x>0,
>0,則∠MBP為銳角,從而∠MBN為鈍角,
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
點(diǎn)評:本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•天津)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為
3
3
,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
4
3
3

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左,右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若
AC
DB
+
AD
CB
=8,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(14分)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),()為橢圓上一點(diǎn),橢圓的長半軸的長等于焦距.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè),若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N,證明在以MN為直徑的圓內(nèi).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(14分)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),()為橢圓上一點(diǎn),橢圓的長半軸的長等于焦距.

  (Ⅰ)求橢圓的方程;

  (Ⅱ)設(shè),若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N,

求證:為鈍角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的長軸長為4,且點(diǎn)在該橢圓上。

(I)求橢圓的方程;

(II)設(shè)P為直線x=4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP與橢圓相交于A的點(diǎn)

M,證明:為銳角三角形

 

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