在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a=
3
,b+c=3
,求當(dāng)cosA+2cos
B+C
2
取得最大值時(shí)的邊b和c的長(zhǎng).
分析:由條件可得cosA+2cos
B+C
2
= -2(sin
A
2
-
1
2
)
2
+
3
2
,故當(dāng)sinA=
1
2
,即A=
π
3
時(shí),取得最大值.再由余弦定理以及cosA=
1
2
求得bc=2,再根據(jù)b+c=3,求得b、c的值.
解答:解:由A+B+C=π,可得
B+C
2
=
π
2
-
A
2
,…(2分)
cos
B+C
2
=sin
A
2
,…(3分)
cosA+2cos
B+C
2
=1-2sin2
A
2
+2sin
A
2
=-2(sin
A
2
-
1
2
)2+
3
2
.…(5分)
當(dāng) sin
A
2
=
1
2
,即A=
π
3
時(shí),cosA+2cos
B+C
2
 取得最大值為
3
2
.…(7分)
cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
(b+c)2-2bc-a2
2bc
=
6-2bc
2bc
=
1
2
,…(9分) 
可得bc=2.…(10分)
∵b+c=3,
解得
b=1
c=2
,或
b=2
c=1
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)、根據(jù)三角函數(shù)的值求角,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長(zhǎng)為20cm,求此三角形的各邊長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍.
(1)求f(x)的周期和對(duì)稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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