Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₄=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求出首項(xiàng)與公差，即可求解通項(xiàng)公式．
（2）求出S_n，利用裂項(xiàng)法直接求解數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)T_n．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由已知

a1+d=5 a1+3d=9

⇒

a1=3 d=2

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+1，n∈N*
（2）由（1）知Sn=

n(3+2n+1)

2

=n2+2n
∴

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，裂項(xiàng)法的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．