Question

把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：
設(shè)a_ij（i、j∈N*）是位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．?dāng)?shù)表中第i行共有2^i-1個(gè)正整數(shù)．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值；
（2）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），試比較A_n與n²+n的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題目中圖中數(shù)的排列規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)圖中是把正整數(shù)按從小下大、左小右大的原則進(jìn)行排列，且第i行的第一個(gè)數(shù)是2^i-1，由此不難推斷2010的位置．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易對(duì)A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），進(jìn)行化簡(jiǎn)，并寫出A_n與n²+n的前若干項(xiàng)，觀察后，可根據(jù)歸納推理對(duì)A_n與n²+n的大小進(jìn)行猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）數(shù)表中前n行共有1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1個(gè)數(shù)，
即第i行的第一個(gè)數(shù)是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1．
∵2¹⁰＜2010＜2¹¹，a_ij=2010，
∴i=11．
令2¹⁰+j-1=2010，
解得j=2010-2¹⁰+1=987．

（2）∵A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
=（1+2+2²+…+2^n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]
=
∴．
當(dāng)n=1時(shí)，，則A_n＜n²+n；
當(dāng)n=2時(shí)，，則A_n＜n²+n；
當(dāng)n=3時(shí)，，則A_n＜n²+n；
當(dāng)n≥4時(shí)，猜想：．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確．
①當(dāng)n=4時(shí)，，
即成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時(shí)，猜想成立，即，
則，
∵，
∴．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確．
由①、②得當(dāng)n≥4時(shí)，成立．
當(dāng)n≥4時(shí)，A_n＞n²+n．
綜上所述，當(dāng)n=1，2，3時(shí)，A_n＜n²+n；當(dāng)n≥4時(shí)，A_n＞n²+n．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．