【題目】橢圓 (a>b>0)與x軸,y軸的正半輛分別交于A,B兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線AB的距離為 ,該橢圓的離心率為 . (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn) 的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,求線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)直線AB的方程為bx+ay﹣ab=0
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為 ,∴ ①
∵橢圓的離心率為 ,∴ ②
由①②可得:a=2,b=1
∴橢圓的方程為 ;
(Ⅱ)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),線段MN的垂直平分線的縱截距為0
當(dāng)直線斜率k存在時(shí),設(shè)直線l的方程為 ,代入 ,消去y得(9+36k2)x2+120kx+64=0
∵△=14400k2﹣256(9+36k2)>0,∴
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為Q(x0,y0)
∴ = ,
∴Q
∴線段MN的垂直平分線方程為
令x=0,則y= ,
由 ,可得﹣
∴線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍為
【解析】(Ⅰ)設(shè)直線AB的方程為bx+ay﹣ab=0,利用原點(diǎn)O到直線AB的距離為 ,橢圓的離心率為 ,建立方程可求a、b的值,從而可得橢圓的方程;(Ⅱ)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),線段MN的垂直平分線的縱截距為0;當(dāng)直線斜率k存在時(shí),設(shè)直線l的方程為 ,代入 ,消去y得(9+36k2)x2+120kx+64=0,進(jìn)而可求線段MN的垂直平分線方程,由此即可求得線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本,需要知道橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線l1 , l2分別是函數(shù)f(x)=sinx,x∈[0,π]圖象上點(diǎn)P1 , P2處的切線,l1 , l2垂直相交于點(diǎn)P,且l1 , l2分別與y軸相交于點(diǎn)A,B,則△PAB的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年12月,京津冀等地?cái)?shù)城市指數(shù)“爆表”,北方此輪污染為2015年以來最嚴(yán)重的污染過程.為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表:
時(shí)間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
車流量x(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
PM2.5的濃度y(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(Ⅰ)由散點(diǎn)圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(Ⅱ)(ⅰ)利用(Ⅰ)所求的回歸方程,預(yù)測(cè)該市車流量為8萬輛時(shí)PM2.5的濃度;
(ⅱ)規(guī)定:當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在(0,50]內(nèi),空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu);當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在(50,100]內(nèi),空氣質(zhì)量等級(jí)為良.為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良,則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)?(結(jié)果以萬輛為單位,保留整數(shù).)
參考公式:回歸直線的方程是 = x+ ,其中 = , = ﹣ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足 .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在直角梯形 中, , , , , , .將 沿 折起,使得點(diǎn) 在平面 的正投影 恰好落在 邊上,得到幾何體 ,如圖2所示.
(1)求證: ;
(2)求點(diǎn) 到平面 的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A.經(jīng)過點(diǎn)P0(x0 , y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.經(jīng)過定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示
C.經(jīng)過任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)的直線都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示
D.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程 表示
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是圓柱的母線, 是 的直徑, 是底面圓周上異于 的任意一點(diǎn), , .
(1)求證:
(2)當(dāng)三棱錐 的體積最大時(shí),求 與平面 所成角的大;
(3) 上是否存在一點(diǎn) ,使二面角 的平面角為45°?若存在,求出此時(shí) 的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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