Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點
（1）求證：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁與平面ABE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出

D1B1

=(2，2，0)，

AE

=(-2，2，1)，利用向量的數(shù)量積公式求出它們的數(shù)量積為0，利用向量垂直的充要條件得到D₁B₁⊥AE；
（2）平面ABE的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角余弦，其絕對值即為D₁B₁與平面ABE所成角θ的正弦值．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標系
設正方體的棱長為2，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（02，0），E（0，2，1），D₁（0，0，2），B₁（2，2，2）
所以

D1B1

=(2，2，0)，

AE

=(-2，2，1)
∵

D1B1

•

AE

=0
∴

D1B1

⊥

AE

∴D₁B₁⊥AE
求出（2）設平面ABE的法向量

n

=(a，b，1)
∵

AB

=(0，2，0)， 

AE

=(-2，2，1)
∴

2b=0 -2a+2b+1=0

解得a=

1

2

，b=0
∴

n

=(

1

2

，0，1)
∴sinθ= |

D1B1 • n

| D1B1 || n |

|=

10

10

點評：解決直線、平面間的位置關系、度量關系時，常通過建立空間直角坐標系，將立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題來解決．