12.函數(shù)f(x)=sin2x-acosx+2a-1的最大值為為g(a)(a∈R).
(1)求g(a)的表達式;
(2)若認g(a)=-$\frac{7}{4}$,求a的值.

分析 (1)先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系進行化簡,然后轉化為關于cosx的一元二次函數(shù),再根據(jù)一元二次函數(shù)的性質與cosx的范圍確定函數(shù)f(x)的最大值g(a).
(2)根據(jù)(1)中的g(a)的解析式,進而求出a的值.

解答 解:(1)f(x)=sin2x-acosx+2a-1=-cos2x-acosx+2a=-(cosx+$\frac{a}{2}$)2+$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a,
當-2≤a≤2時,g(a)=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a,
當a<-2時,g(a)=-(1+$\frac{a}{2}$)2+$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a=-1+a,
當a>2,g(a)=-(-1+$\frac{a}{2}$)2+$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a=-1+3a,
∴g(a)=$\left\{\begin{array}{l}{a-1,a<-2}\\{\frac{1}{4}{a}^{2}+2a,-2≤a≤2}\\{3a-1,a>2}\end{array}\right.$,
(2)g(a)=-$\frac{7}{4}$,
當a-1=-$\frac{7}{4}$時,解得a=-$\frac{3}{4}$(舍去),
當$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a=-$\frac{7}{4}$時,解得a=-1.或a=-7(舍去),
當3a-1=-$\frac{7}{4}$時,解得a=-$\frac{1}{4}$(舍去),
綜上所述a的值為-1.

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用,著重考查二次函數(shù)的配方法及單調性的應用,突出考查分類討論思想與方程思想,考查綜合應用能力,屬于中檔題.

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