Question

在從空間中一點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC上分別取點(diǎn)M，N，Q，使PM=PN=PQ=1，且∠BPC=90°，∠BPA=∠CPA=60°，則三棱錐P-MNQ的外接球的體積為

 

．

Answer 1

分析：由題意判斷QN的中點(diǎn)到A、M、N、Q距離相等，求出外接圓的半徑，即求解外接球的體積．

解答：解：從空間中一點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC上分別取點(diǎn)M，N，Q，使PM=PN=PQ=1，且∠BPC=90°，∠BPA=∠CPA=60°，
∴△PMQ，△PMN都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，MN=MQ=1，△NPQ是直角三角形，∴NQ=

2

，
△MNQ是等腰直角三角形，NQ的中點(diǎn)為O，∴OM=OQ=ON=OP=

2

2

，
O是外接球的球心，三棱錐P-MNQ的外接球的體積為：

4π

3

(

2

2

)3=

2

3

π．
故答案為：

2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的外接球的體積的求法，求出外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．