Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；
（3）設(shè)A={（n，b_n）|b_n=3ⁿ+kⁿ，n∈N*}，其中k為常數(shù)，且k∈N^*，B={（n，c_n）|c_n=5ⁿ，n∈N*}，求A∩B．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=pⁿ+λqⁿ可得a_n+1-pa_n的表達(dá)式，整理可得

an+2-pan+1

an+1-pan

為常數(shù)，進(jìn)而可判斷數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列．
（2）取數(shù)列{a_n}的連續(xù)三項(xiàng)a_n，a_n+1，a_n+2把a(bǔ)_n=pⁿ+λqⁿ代入a_n+1²-a_na_n+2整理可知結(jié)果不為0，進(jìn)而可判斷a_n+1²≠a_na_n+2，即數(shù)列{a_n}中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；
（3）由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ整理得(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，設(shè)f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x則可知f（x）為減函數(shù)，故可判定f（x）=1的解只有一個(gè)，從而當(dāng)且僅當(dāng)n=1，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ成立，同樣的道理可證當(dāng)k=1，k=3或k≥5時(shí)，B∩C=∅；當(dāng)k=2時(shí)，B∩C={（1，5）}，當(dāng)k=4時(shí)，B∩C={（2，25）}．

解答：解：（1）∵a_n=pⁿ+λqⁿ，
∴a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λqⁿ（q-p），
∵λ≠0，q＞0，p≠q
∴

an+2-pan+1

an+1-pan

=q為常數(shù)
∴數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列
（2）取數(shù)列{a_n}的連續(xù)三項(xiàng)a_n，a_n+1，a_n+2（n≥1，n∈N^*），
∵a_n+1²-a_na_n+2=（pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹）²-（pⁿ+λqⁿ）（pⁿ⁺²+λqⁿ⁺²）=-λpⁿqⁿ（p-q）²，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0，
∴-λpⁿqⁿ（p-q）²≠0，即a_n+1²≠a_na_n+2，
∴數(shù)列{a_n}中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+1＜5ⁿ，此時(shí)B∩C=∅；
當(dāng)k=3時(shí)，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+3ⁿ=2•3ⁿ為偶數(shù)；而5ⁿ為奇數(shù)，此時(shí)B∩C=∅；
當(dāng)k≥5時(shí)，3ⁿ+kⁿ＞5ⁿ，此時(shí)B∩C=∅；
當(dāng)k=2時(shí)，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，發(fā)現(xiàn)n=1符合要求，
下面證明唯一性（即只有n=1符合要求）．
由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ得(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，
設(shè)f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x，則f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x是R上的減函數(shù)，
∴f（x）=1的解只有一個(gè)
從而當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，
即3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，此時(shí)B∩C={（1，5）}；
當(dāng)k=4時(shí)，3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，發(fā)現(xiàn)n=2符合要求，
下面同理可證明唯一性（即只有n=2符合要求）．
從而當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)(

3

5

)n+(

4

5

)n=1，
即3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，此時(shí)B∩C={（2，25）}；
綜上，當(dāng)k=1，k=3或k≥5時(shí)，B∩C=∅；
當(dāng)k=2時(shí)，B∩C={（1，5）}，
當(dāng)k=4時(shí)，B∩C={（2，25）}．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的確定和集合的相關(guān)知識．考查了學(xué)生分析和運(yùn)算能力．