Question

已知函數(shù)f(x)=

|x+m-1|

x-2

，m＞0且f（1）=-1．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，m-1]上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）求實數(shù)k的取值范圍，使得關(guān)于x的方程f（x）=kx分別為：
①有且僅有一個實數(shù)解；
②有兩個不同的實數(shù)解；
③有三個不同的實數(shù)解．

Answer 1

（1）由f（1）=-1，得

|m|

-1

=-1，|m|=1，
∵m＞0，∴m=1． （4分）
（2）由（1），m=1，從而f(x)=

|x|

x-2

，只需研究f（x）在（-∞，0]上的單調(diào)性．
當(dāng)x∈（-∞，0]時，f(x)=

-x

x-2

．
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

-x1

x1-2

-

-x2

x2-2

=

2(x1-x2)

(x1-2)(x2-2)

，（6分）
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)遞增函數(shù)． （10分）
（3）原方程即為

|x|

x-2

=kx…①
x=0恒為方程①的一個解． （11分）
若x＜0時方程①有解，則

-x

x-2

=kx，解得x=2-

1

k

，
由2-

1

k

＜0，得 0＜k＜

1

2

； （13分）
若x＞0且x≠2時方程①有解，則

x

x-2

=kx，解得x=2+

1

k

，
由2+

1

k

＞0且2+

1

k

≠2，得k＜-

1

2

或k＞0． （15分）
綜上可得，當(dāng)k∈[-

1

2

，0]時，方程f（x）=kx有且僅有一個解；
當(dāng)k∈(-∞，-

1

2

)∪[

1

2

，+∞)時，方程f（x）=kx有兩個不同解；
當(dāng)k∈(0，

1

2

)時，方程f（x）=kx有三個不同解．   （18分）