Question

有一個(gè)倒放著的軸截面為正三角形的圓錐形容器，內(nèi)盛有高為h的水，放入一鐵球后，上升的水面恰好和球面相切，求球面上的點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的最小距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如圖是容器的軸截面△VGH，它截球O所得的截面為圓O，截水平面得到交線DE． 于是△VDE是正三角形，且圓O是△VDE的內(nèi)切圓，其中A、C是切點(diǎn)． 連結(jié)VC，顯然，OV與圓O相交于B． 在球面任選一個(gè)異于B的點(diǎn)． 在△中， ∵， 即，且． ∴． ∴VB的長(zhǎng)度是球面上的點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的最小距離． 設(shè)球O的半徑為R． 在Rt△VOA中，∵∠OVA=30°，∠OAV=92°， ∴VO=2×OA=2R，∴VC=3R，． ∴圓錐VC的體積等于． 球O的體積為． 設(shè)起始的水平線和圓錐軸截面的交線為MN． ，則，． 水的體積為． 依題意，有． 解之，得，． ∵VB=R， ∴球面上的點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的最短距離等于．