沿著正四面體O—ABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1、f2、f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值.

解:如圖所示,用a、b、c分別代表棱、、上的三個(gè)單位向量,則f1=a,f2=2b,f3=3c,

則f=f1+f2+f3=a+2b+3c.

∴｜f｜2=(a+2b+3c)·(a+2b+3c)

=｜a｜2+4｜b｜2+9｜c(diǎn)｜2+4a·b+6a·c+12b·c

=1+4+9+4｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a,b〉+6｜a｜｜c(diǎn)｜c(diǎn)os〈a,c〉+12｜b｜｜c(diǎn)｜c(diǎn)os〈b,c〉

=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°

=14+2+3+6=25.

∴｜f｜=5,即所求合力的大小為5.

且cos〈f,a〉=

同理,可得cos〈f,b〉=,

cos〈f,c〉=.

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如圖，一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi)，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí)，求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請(qǐng)說明理由．

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值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請(qǐng)說明理由．

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