Question

設(shè)f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）在區(qū)間（，+∞）上的極值點個數(shù)．

Answer 1

解：（1）當a=0時，f（x）=（xlnx-1）e^x，（x＞0）
故f^′（x）=（lnx+1+xlnx-1）e^x=（x+1）e^xlnx．
當x=1時，f^′（x）=0，當x＞1時，f^′（x）＞0，當x＜1時，f^′（x）＜0．
故f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，
得：f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，
令g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，則，，
顯然g^′′（1）=0，又當0＜x＜1時，g^′′（x）＜0，當x＞1時g^′′（x）＞0．
所以，g^′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故，∵a≥-2，∴g^′（x）≥g^′（x）_min=2+a≥0．
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
注意到：當x→+∞時，g（x）→+∞，故g（x）在上的零點個數(shù)由
的符號決定．
①當，即或a≥1時，g（x）在區(qū)間上無零點，
即f（x）無極值點．
②當，即時，g（x）在區(qū)間上有唯一零點，
即f（x）有唯一極值點．
綜上：當或a≥1時，f（x）在上無極值點．
當時，f（x）在上有唯一極值點．
分析：（1）把a=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，在定義域內(nèi)由導函數(shù)大于0的原函數(shù)的增區(qū)間，由導函數(shù)小于0得原函數(shù)的減區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，其中e^x＞0恒成立，要分析函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上的極值點個數(shù)，引入函數(shù)g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，則需要討論函數(shù)g（x）的零點情況，通過對函數(shù)g（x）兩次求導后分析得到函數(shù)g（x）在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)，則通過討論其最小值的符號可以判斷其零點情況，從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上的極值點個數(shù)情況．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導函數(shù)的零點與原函數(shù)極值點之間的關(guān)系，利用兩次求導判斷函數(shù)的單調(diào)性是該題的難點所在，是有一定難度的題目．