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精英家教網如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點A、B，點M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．
分析：（1）借助于拋物線過點P，先求拋物線方程，再利用離心率e=
3
2
，求橢圓方程；
（2）點M滿足
AM
+
BM
=
0
，等價于點M為線段AB的中點，從而表達出斜率，再進行證明．
解答：解：（1）將P（
3
，
1
2
）代入x2=2py得p=3，∴拋物線C1的方程為x2=6y，焦點F（0，
3
2
）
把P（
3
，
1
2
）代入
x2
a2
+
y2
b2
=1得
3
a2
+
1
4b2
=1，又e=
3
2
，∴a=2，b=1故橢圓C2的方程為
x2
4
+
y2
1
=1
（2）由直線l：y=kx+t與
x2
4
+
y2
1
=1聯立得（1+4k2）x2+8ktx+4（t2-1）=0，△＞0得1+4k2＞t2
設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=
-8kt
1+4k2

由題意點M為線段AB的中點，設M（xM，yM），
∴xM=
-4kt
1+4k2
，yM=
t
1+4k2
，
∴k1=
2t-3(1+4k2)
-8kt
∴kk1＞
3t2-2t
8t
=
3t -2
8
＞-
1
4
點評：本題主要考查圓錐曲線相交，求圓錐曲線問題，利用了待定系數法，同時考查了直線與曲線相交問題，利用設而不求法進行證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1，已知點P（1，
3
），過點P作互相垂直且分別與圓M圓N相交的直線l1，l2，設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，
s
t
是否為定值？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖過拋物線C1：x2=4y的對稱軸上一點P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，點Q是P關于原點的對稱點，以P，Q為焦點的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點，求C2的方程；
（3）設
AP
=λ
PB
，若
QP
⊥(
QA
-μ
QB
)，求證：λ=μ

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科目：高中數學 來源：2013年遼寧省高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），點M（x，y）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O），當x=1-時，切線MA的斜率為-．
（I）求P的值；
（II）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）．

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科目：高中數學 來源：2011年廣東省廣州市高考數學查漏補缺試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．已知點，過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t．是否為定值？請說明理由．

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