Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，a_4n+1=1（n∈N^*）．
（1）求a₄，a₇；
（2）是否存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，即可求a₄，a₇；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n，則存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．對(duì)T分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_2n=a_n，a_4n-1=0，
∴a₄=a₂=a₁=1；a₇=a_4×2-1=0．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．
則存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．
設(shè)T為其中最小的正整數(shù)．
若T為奇數(shù)，設(shè)T=2t-1（t∈N^*），則a_4n+1=a_4n+1+T=a_4n+1+2T=a_4（n+t）-1=0，與已知a_4n+1=1矛盾．
若T為偶數(shù)，設(shè)T=2t（t∈N^*），則a_2n+T=a_2n=a_n，
而a_2n+T=a_2n+2t=a_n+t，從而a_n+t=a_n．
而t＜T，與T為其中最小的正整數(shù)矛盾．
綜上，不存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+T=a_n．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的探究能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．