Question

（2013•南京二模）在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

cosC

cosB

=

2a-c

b

，
（1）求B；   
（2）若tan(A+

π

4

)=7，求cosC的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值即可得出；
（2）利用兩角和的正切公式平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式即可得出．

解答：解：（1）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

2a-c

b

=

2sinA-sinC

sinB

，
∴

cosC

cosB

=

2sinA-sinC

sinB

，化為sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∵B+C=π-A，∴sinA=2sinAcosB，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，得到cosB=

1

2

．
又B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）∵tan(A+

π

4

)=7，∴

tanA+1

1-tanA

=7，解得tanA=

3

4

．
∵A∈（0，π）∴A為銳角．
∴cosA=

4

5

，sinA=

3

5

．
∴cosC=cos（π-A-B）=cos（A+B）=cos(A+

π

3

)=-cosAcos

π

3

+sinAsin

π

3

=-

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

3

=

-4+3 3

10

．

點評：熟練掌握正弦定理、兩角和的正弦余弦正切公式、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．