Question

某工廠為某工地生產(chǎn)容器為

3

2

π(米3)的無蓋圓柱形容器，容器的底面半徑為r（米），而且制造底面的材料每平方米為30元，制造容器的材料每平方米為20元，設(shè)計時材料的厚度可忽略不計．
（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函數(shù)；
（2）工地要求容器的底面半徑r∈[2，3]（米），問如何設(shè)計容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精確到元）

Answer 1

（1）容器壁的高為h米，容器的體積為V米³．
由V=πr2h，得πr2h=

3

2

π．
∴h=

3

2r2

∴y=30•πrr²+20•2πrh=30πr2+

60π

r

=30π(r2+

2

r

)(r＞0)
（2）由y=30π(r2+

2

r

)=30π(r2+

1

r

+

1

r

)≥30π•3

3	r2• 1 r • 1 r

=90π
當(dāng)且僅當(dāng)r2=

1

r

．即r=1時，取等號．
由1∉[2，3]；下面研究函數(shù)Q(x)=r2+

2

r

在r∉[2，3]上的單調(diào)性．
設(shè)2≤r₁＜r₂≤3，Q(r1)-Q(r2)=(r12+

2

r1

)-(r22+

2

r2

)=(

r

21

-

r

22

)+2(

1

r1

-

1

r2

)=(r1-r2)•

r1+r2-2

r1r2

，
∵2≤r₁＜r₂≤3，
∴(r1-r2)＜0，

r1+r2-2

r1r2

＞0，
∴Q（r₁）-Q（r₂）＜0，即Q（r）在[2，3]上為增函數(shù)．
當(dāng)r=2時，y取得最小值150π≈465（元）．
∴當(dāng)r=2米，h=

3

8

米時，造價最低為465元．