Question

12．已知圓${C_1}：{x^2}+{y^2}=4$與圓${C_2}：{（x-1）^2}+{（y-3）^2}=4$，過動點P（a，b）分別作圓C₁、圓C₂的切線PM，PN，（ M，N分別為切點），若|PM|=|PN|，則a²+b²-6a-4b+13的最小值是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 P的軌跡為線段C₁C₂的中垂線：2x+6y-10=0，由a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²，得到a²+b²-6a-4b+13的最小值是點（3，2）到直線2x+6y-10=0的距離的平方，由此能求出結果．

解答 解：∵圓${C_1}：{x^2}+{y^2}=4$與圓${C_2}：{（x-1）^2}+{（y-3）^2}=4$，
∴C₁（0，0），C₂（1，3），
∵過動點P（a，b）分別作圓C₁、圓C₂的切線PM，PN，（ M，N分別為切點），|PM|=|PN|，
∴P的軌跡為線段C₁C₂的中垂線，
線段C₁C₂的中點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），線段C₁C₂的斜率k′=$\frac{3}{1}$=3，
∴P的軌跡方程為$y-\frac{3}{2}=-\frac{1}{3}（x-\frac{1}{2}）$，即2x+6y-10=0，
∵a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²，
∴a²+b²-6a-4b+13的最小值是點（3，2）到直線2x+6y-10=0的距離的平方，
∴a²+b²-6a-4b+13的最小值為：
d²=（$\frac{|2×3+6×2-10|}{\sqrt{4+36}}$）²=$\frac{8}{5}$．
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查代數式的最小值的求法，涉及到直線方程、圓、圓的切線方程、線段的中垂線方程、兩點間距離公式、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．