如圖,已知四棱錐P-ABCD,PB⊥AD側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.
(I)求點(diǎn)P到平面ABCD的距離,
(II)求面APB與面CPB所成二面角的大。

【答案】分析:(1)側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形,底面ABCD為菱形,△PAD與菱形ABCD有公共邊AD,所以△PAD≌△ADB≌△CDB,故作PO⊥平面ABCD,垂足為點(diǎn)O.連接OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E,連接PE.于是OB平分AD,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角,為120°,所以PO=PE•sin60°=
(2)解法一:
建立直角坐標(biāo)系,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸平行于DA,OB為y軸,OP為z軸,連接AG.
則:P(0,0,),B(0,,0),PB的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,,),A(1,,0),C(-2,,0).根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可求得面APB與面CPB所成二面角的大小.這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理,因?yàn)檫@些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出,因?yàn)橹恍璁媯草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可.
解法二:
求解二面角的大小,關(guān)鍵在于作出它的平面角.取PB的中點(diǎn)G,PC的中點(diǎn)F,連接EG、AG、GF,則AG⊥PB,F(xiàn)G∥BC,F(xiàn)G=BC.因?yàn)锳D⊥PB,所以BC⊥PB,F(xiàn)G⊥PB,所以∠AGF是所求二面角的平面角.
解答:(I)解:如圖,作PO⊥平面ABCD,垂足為點(diǎn)O.連接OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E,連接PE.

∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE•sin60°=
即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為
(II)解法一:如圖建立直角坐標(biāo)系,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸平行于DA..連接AG.

又知.由此得到:
,


所以
等于所求二面角的平面角,
于是
所以所求二面角的大小為
解法二:如圖,取PB的中點(diǎn)G,PC的中點(diǎn)F,連接EG、AG、GF,則AG⊥PB,F(xiàn)G∥BC,F(xiàn)G=BC.

∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,F(xiàn)G⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中,EG=PE•cos60°=
在Rt△PEG中,EG=AD=1.
于是tan∠GAE==
又∠AGF=π-∠GAE.
所以所求二面角的大小為π-arctan
點(diǎn)評:本小題主要考查棱錐,二面角和線面關(guān)系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點(diǎn),
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大。

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(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點(diǎn),AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點(diǎn)M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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