Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）在滿足（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-2，0]上的最值及相應(yīng)自變量x的值；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f'（-1）=0可求a的值．
（2）將（1）中a的值代入確定函數(shù)f（x）的解析式后求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，進(jìn)而可求出在[-2，0]上的最值及相應(yīng)自變量x的值．
（3）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到f'（x）=3x²+2ax+1為二次函數(shù)，當(dāng)△≤0時(shí)，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)△＞0時(shí)，求出兩根，然后求出對(duì)應(yīng)的f'（x）＞0和f'（x）＜0的x的范圍即可得到原函數(shù)單調(diào)增減區(qū)間．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=-1處取得極值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1，f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得x=-1，x=-

1

3

從上表可以看出f(x)極小值=

23

27

＞0，f（x）_極大值=1＞0，
所以函數(shù)f（x）有零點(diǎn)且只有一個(gè)5
又函數(shù)f（x）在[-2，-1]上連續(xù)，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)介于-2和-1之間．7

（3）f'（x）=3x²+2ax+1，△=4a²-12=4（a²-3）
當(dāng)a²≤3，即-

3

＜a＜

3

時(shí)，△≤0，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)
當(dāng)a²＞3，即a＞

3

或a＜-

3

時(shí)，△＞0，
解f'（x）=0得兩根為x1=

-a- a2-3

3

，x2=

-a+ a2-3

3

（顯然x₁＜x₂）
當(dāng)x∈（-∞，x₁）時(shí)f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時(shí)f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時(shí)f'（x）＞0
所以函數(shù)f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函數(shù)；
在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是減函數(shù)14
綜上：當(dāng)-

3

＜a＜

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞

3

或a＜-

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函數(shù)；在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．