Question

解下列一元二次不等式：

(1)2x²－3x－2＞0；

(2)6x－2－3x²＞0；

(3)4x(1－x)≥1；

(4)x²－2x＋2＞0．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為△＞0，方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2，畫出二次函數(shù)y＝2x2－3x－2的圖象，如圖所示，可知不等式2x2－3x－2＞0的解集是{x|x＜－或x＞2}． 　　(2)原不等式可化為3x2－6x＋2＜0，因為△＞0，對應(yīng)方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，畫出相應(yīng)二次函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖象，如圖所示，可知原不等式的解集是{x|1－＜x＜1＋}． 　　(3)原不等式可化為4x2－4x＋1≥0，因為△＝0，方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝x0＝，畫出相應(yīng)二次函數(shù)y＝4x2－4x＋1的圖象，如圖所示， 　　可知原不等式的解集是{x|x∈R}． 　　(4)因為△＜0，方程x2－2x＋2＝0無解，畫出相應(yīng)二次函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象，如圖所示，可知原不等式的解集為R． 　　思路分析：本題主要考查具體的一元二次不等式的解法．利用圖象法解一元二次不等式，可按以下步驟：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式△的符號；(3)若△≥0，則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根，若△＜0，則對應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可利用代數(shù)法，即轉(zhuǎn)化為一次不等式，再寫出解集． 　　方法歸納：解不等式的核心問題是將不等式進(jìn)行同解變形，不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的理論依據(jù)．解不等式時要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．本例中的(1)、(2)、(3)小題除了可以用上面的圖象法求解之外，還可以用代數(shù)法求解．如(1)： 　　原不等式可化為(2x＋1)(x－2)＞0，則有 　　即 　　所以x＞2或x＜－．