【題目】(1)若,恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(2)在(1)的條件下,求證:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn),且.
【答案】(1).(2)家粘結(jié)性
【解析】
(1)令,求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間,確定減區(qū)間,從而得的最小值,得的取值范圍,即得;
(2)求出導(dǎo)函數(shù),通分后,令,再求導(dǎo)數(shù),令.分類討論,當(dāng)時(shí),,得遞減,從而可得在上有唯一零點(diǎn),時(shí),令.利用導(dǎo)數(shù)得的單調(diào)性,從而得,于是得出在上的單調(diào)性,得唯一極大值點(diǎn).由可對(duì)變形,得,只要證明在上,從而可證得結(jié)論.
(1)解:令,則.
可見,;.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)取最小值1.
由題意,實(shí)數(shù).所以.
(2)由(1),.
令,
則.
令.
①當(dāng)時(shí),,,,所以.
可見,,所以在上單調(diào)遞減.
又(由(1),可得,所以),
,所以存在唯一的,使得.
從而,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí),令.
則.所以在上單調(diào)遞減.
所以(由(1),可得,所以).
又當(dāng)時(shí),,,,
所以當(dāng)時(shí),,從而.所以在單調(diào)遞增.
綜上所述,在上單調(diào)遞增,在上單詞遞減.
所以,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn).
關(guān)于的證明如下:
由上面的討論,,且,所以,所以.
于是.
令.當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí),,即.
又因?yàn)?/span>,所以,,所以.
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu),該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的,且前后、左右、上下均對(duì)稱,每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為4,且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直.則這個(gè)幾何體有________個(gè)面,其體積為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】盲盒里面通常裝的是動(dòng)漫、影視作品的周邊,或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)的玩偶.由于盒子上沒有標(biāo)注,購(gòu)買者只有打開才會(huì)知道自己買到了什么,因此這種驚喜吸引了眾多年輕人,形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”.某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式,且每個(gè)盲盒只裝一個(gè).
(1)若每個(gè)盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶,若他再購(gòu)買兩個(gè)這款盲盒,恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少?
(2)某銷售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度,隨機(jī)發(fā)放了200份問卷,并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計(jì),有的人購(gòu)買了該款盲盒,在這些購(gòu)買者當(dāng)中,女生占;而在未購(gòu)買者當(dāng)中,男生女生各占.請(qǐng)根據(jù)以上信息填寫下表,并分析是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買該款盲盒與性別有關(guān)?
女生 | 男生 | 總計(jì) | |
購(gòu)買 | |||
未購(gòu)買 | |||
總計(jì) |
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(3)該銷售網(wǎng)點(diǎn)已經(jīng)售賣該款盲盒6周,并記錄了銷售情況,如下表:
周數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
盒數(shù) | 16 | ______ | 23 | 25 | 26 | 30 |
由于電腦故障,第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失,該銷售網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用第1、3周數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
①請(qǐng)用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;
(注:,)
②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2盒,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
③如果通過②的檢驗(yàn)得到的回歸直線方程可靠,我們可以認(rèn)為第2周賣出的盒數(shù)誤差也不超過2盒,請(qǐng)你求出第2周賣出的盒數(shù)的可能取值;如果不可靠,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)估計(jì)第2周賣出的盒數(shù)的方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn),現(xiàn)選擇15名志愿者,對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量(單位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖,并求得其回歸方程為,以下結(jié)論中不正確的為
A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系,
C. 可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為,,離心率為,過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交橢圓于點(diǎn),兩點(diǎn),與線段和橢圓短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn),,且,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)一切正整數(shù)都有.
(1)求證:;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使不等式,對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓經(jīng)過橢圓的左右焦點(diǎn),與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,且, , 三點(diǎn)共線.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)與直線(為原點(diǎn))平行的直線交橢圓于兩點(diǎn),當(dāng)的面積取取最大值時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(),將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線.
(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓周率是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值,一般用字母表示.我們可以通過設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值:從表示的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)抽取200個(gè)實(shí)數(shù)對(duì),其中x,y兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)共有56個(gè).則用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)的近似值為________.
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