Question

17．四邊形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，則它的面積最大值等于$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，當(dāng)D在BC的正上方時(shí)S_△DBC面積最大，A為BC的正下方時(shí)S_△ABC面積最大，設(shè)BC為2x，可求DH=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，S_{四邊形ABCD}=x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$，設(shè)x=sinθ，則利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得S_四邊形=$\frac{1}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得S_四邊形的最大值．

解答 解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，
∴D在以BC為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，A在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)D在BC的正上方時(shí)S_△DBC面積最大，A為BC的正下方時(shí)S_△ABC面積最大，此時(shí)，設(shè)BC為2x，則DH=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_ABC=x$•\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}•2x•x$=x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
設(shè)x=sinθ，則$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosθ，
∴S_四邊形=sin²θ+sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（2sin²θ+2sinθcosθ）=$\frac{1}{2}$（1-cos2θ+sin2θ）=$\frac{1}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）]，
∴當(dāng)sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=1時(shí)，即θ=$\frac{3π}{8}$時(shí)，S_四邊形取得最大值，最大值為：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓和橢圓的性質(zhì)，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)動(dòng)思想，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．