Question

若不等式|a-1|≥x+y+z，對(duì)滿足x²+y²+z²=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a≥

3

+1或a≤-

3

+1

．

Answer 1

分析：不等式|a-1|≥x+y+z恒成立，只要|a-1|≥（x+y+z）_max，利用基本不等式3=3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²求出x+y+z的最大值，再解關(guān)于a的絕對(duì)值不等式即可．

解答：解：∵x²+y²≥2xy
x²+z²≥2xz
y²+z²≥2yz
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+xz+yz）
∴3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²
∵x²+y²+z²=1，
∴（x+y+z）²≤3
∴-

3

≤x+y+z≤

3

∵|a-1|≥x+y+z恒成立
∴|a-1|≥（x+y+z）_max
即|a-1|≥

3

∴a≥

3

+1或a≤-

3

+1
故答案為：a≥

3

+1或a≤-

3

+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式求解最值的應(yīng)用及函數(shù)的恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用