(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=509-n,求自然數(shù)n的值;

(2)若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,求|a0|+|a1|+…+|a6|的值;

(3)若(x+2)8-(x+2)7+…+(-1)r·(x+2)8-r+…+1=a8(x+2)8+a7(x+2)7+…+a1(x+2)+a0,求a0+a1+…+a8的值.

解:(1)令x=1,有2+22+…+2n=a0+a1+…+an.

    由已知得=a0+509-n+an.

∵a0=n,a1=1,

∴2n+1-2=n+509-n+1=510.

∴2n+1=512.

∴n=8.

(2)設(shè)x=1,有a0+a1+a2+…+a6=1,

    令x=-1,有a0-a1+a2-a3+…+a6=36=729,兩式相加

    得a0+a2+a4+a6=365,兩式相減得a1+a3+a5=-364.

∴|a0|+|a1|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=365+364=729.

    此題亦可這樣解:

    由于求的是各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和,易知它與(1+2x)6的系數(shù)和相同,令x=-1,即有|a0|+|a1|+…+|a6|=36=729.

(3)原式左邊=［(x+2)-1］8=(x+1)8.

    由已知令x=-1,得a0+a1+a2+…+a8=08=0.

點(diǎn)評(píng):關(guān)于二項(xiàng)展開式的系數(shù)和的問題,根本思想是利用二項(xiàng)展開式是恒等式再使用賦值法去處理,利用賦值法可以得出很多關(guān)于組合數(shù)的恒等式,其中第(3)小題說明既要會(huì)展開二項(xiàng)式,又要會(huì)逆向使用二項(xiàng)式定理,還要正確賦值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
①對(duì)于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對(duì)于任意x∈[0，1]，總有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，則函數(shù)g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；
②對(duì)于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，對(duì)任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時(shí)f（x）•g（x）≠0．則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)為一次函數(shù)，且為增函數(shù)，若f［g(x)］=4x2-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a2≠b2),求f(x);

(3)f(x)是R上的奇函數(shù)，且x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=x2+2x,求f(x);

(4)某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5 000元，且每生產(chǎn)100部，需要增加投入2 500元，對(duì)銷售市場進(jìn)行調(diào)查后得知，市場對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數(shù)為H(x)=500x-x2,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500.若x為年產(chǎn)量，y表示利潤，求y=f(x)的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)已知f(x-3)=x2+3x+1,求f(x)的解析式;

(2)已知f(x)滿足f(x-)=x2+,求函數(shù)f(x)的解析式;

(3)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),且f［f(x)］=4x+1,求函數(shù)f(x)的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濰坊市高三（上）12月統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx．（e≈2.71828）
（I）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））x=1處的切線為l，若l與圓相切，求a的值；
（II）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）當(dāng)a=-1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)x∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x處的切線與Y軸垂直？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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