Question

如圖，已知圓C₁與y軸相切于原點O，且過雙曲線x²-3y²=3的右焦點F₂；過拋物線C₂：y²=4x的焦點P作直線l與曲線C₁，C₂按自上而下的順序交于A， B，C，D。

（1）求圓C₁的方程；
（2）問是否存在直線l使成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由得
∴
∴c=2
∴雙曲線的右焦點為F₂（2，0）
∵圓C₁與y軸相切于原點O，
∴可設C₁：（x-m）²+y²=m²（m>0），
∵圓C₁過點F₂（2，0），
∴（2-m）²=m²且m>0，
∴m=1
∴圓C₁：（x-1）²+y²=1；
（2）拋物線y²=4x的焦點為P（1，0），
∵P（1，0）為圓C₁的圓心，
∴BC為圓C₁的直徑，
∴|BC|=2
若存在直線l使成等差數(shù)列，
則|AB|+|CD|=2|BC|=4
∴|AD|=|AB|+ |BC|+|CD|=6
當直線l的斜率不存在時x=1，代入y²=4x得A（1，2），D（1，-2），
∴|AD|=4，不合題意
當直線l的斜率存在時，
∵l過點P（1，0），
∴可設l：y=k（x-1），由y²=4x得：
代入l的方程得：
即ky²-4y-4k=0
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），當k≠0時，
 
∴
又∵|AD|=6
∴
解得
l：
故存在符合條件的直線l，其方程為或y-=0。