Question

已知a∈R，討論函數(shù)f（x）=ln（x-1）-ax的單調(diào)性并求相對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)a的分類討論判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系寫出單調(diào)區(qū)間．

解答：解：函數(shù)f（x）=ln（x-1）-ax的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x-1

-a，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

1

x-1

＞0；所以f（x）在（1，+∞）上遞增；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=

1

x-1

-a=

-a(x- a+1 a )

x-1

當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=

a+1

a

=1+

1

a

＞1
所以函數(shù)f（x）在x∈（1，

a+1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在a＞0時(shí)，x∈（1，

a+1

a

）時(shí)為增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為（1，

a+1

a

）；
x∈（

a+1

a

，+∞）為減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為（

a+1

a

，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

1

x-1

-a=

-a(x- a+1 a )

x-1

＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，

a+1

a

）；單調(diào)減區(qū)間為（

a+1

a

，+∞）
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，含參數(shù)的函數(shù)解決單調(diào)性問(wèn)題一般需要分類討論，屬于中檔題．