Question

已知{a_n}是等比數列，公比為q，設S_n=a₁+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ（其中n＞2，n∈N₊），且S_n¹=C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ，如果存在，求公比q的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據等比數列的通項公式可表示出a_n，和S_n¹，進而求得Sn，代入中，根據或求得q的范圍．
解答：解：由題意a_n=a₁•q^n-1，S_n¹=2ⁿ，
Sn=a₁+a_1qC_n¹+a_1q²C_n²++a_1qⁿC_nⁿ
=a₁（1+qC_n¹+q²C_n²++qⁿC_nⁿ）
=a₁（1+q）ⁿ（q≠0）
∴．
如果存在，則或，
∴-2＜1+q＜2或q=1，
則-3＜q≤1且q≠0．
故答案為-3＜q≤1且q≠0．
點評：本題主要考查等比數列的求和．屬基礎題．